בגרות 571 חורף 2024 – סדרה חשבוניתסדרות 571 · שיעור 67
חורף 2024, שאלה 2
שיעור 67: בגרות 571 חורף 2024 – סדרה חשבונית
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 571 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – מתי הסדרה עולה, יורדת או קבועה
3סעיף ב – הערך של k
4סעיף ג – B סדרה חשבונית
5סעיף ד – הסכום עם הסימנים המתחלפים
📄 נוסח השאלה
בסדרה חשבונית A נתון: a1 = −4 − 4k , a3 = −16 + 2k. k הוא פרמטר.
א. מצאו עבור אילו ערכים של k:
(1) הסדרה A עולה. (2) הסדרה A יורדת. (3) הסדרה A קבועה.
נתון כי a17 = −232.
ב. מצאו את הערך של k.
📄 נוסח השאלה · המשך
הציבו את הערך של k שמצאתם וענו על הסעיפים ג–ד.
נתונה סדרה חדשה, B, שאיבריה מוגדרים כך: לכל n טבעי, bn = an + 24n + 17.
ג. הוכיחו כי הסדרה B היא חשבונית.
ד. חשבו את הסכום:
b12 − b22 + b32 − b42 + ...
+ b292 − b302.
b12 − b22 + b32 − b42 + ...
+ b292 − b302.
סעיף א – מתי הסדרה עולה, יורדת או קבועה
a3 = a1 + 2d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
−16 + 2k = −4 − 4k + 2d
2d = −12 + 6k
d = −6 + 3k
סדרה חשבונית עולה כאשר d > 0, יורדת כאשר d < 0 וקבועה כאשר d = 0.
📐 סדרה חשבונית
(1) עולה:
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
📐 סדרה חשבונית
עולה: d > 0
יורדת: d < 0
קבועה: d = 0
יורדת: d < 0
קבועה: d = 0
סעיף א – מתי הסדרה עולה, יורדת או קבועה · המשך
(1) עולה:
−6 + 3k > 0
k > 2
(2) יורדת:
−6 + 3k < 0
k < 2
סעיף א – מתי הסדרה עולה, יורדת או קבועה · המשך
k < 2
(3) קבועה:
−6 + 3k = 0
k = 2
✅ פתרון סופי: (1) k > 2 ; (2) k < 2 ; (3) k = 2
סעיף ב – הערך של k
a17 = a1 + 16d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
−232 = −4 − 4k + 16(−6 + 3k)
−232 = −4 − 4k − 96 + 48k
−232 = −100 + 44k
44k = −132
k = −3
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ב – הערך של k · המשך
k = −3
✅ פתרון סופי: k = −3
סעיף ג – B סדרה חשבונית
נציב k = −3:
a1 = −4 − 4 · (−3) = 8
d = −6 + 3 · (−3) = −15
an = 8 + (n − 1) · (−15)
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = 23 − 15n
bn = 23 − 15n + 24n + 17
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ג – B סדרה חשבונית · המשך
bn = 23 − 15n + 24n + 17
bn = 9n + 40
bn+1 − bn
📐 הוכחה שסדרה חשבונית
= 9(n + 1) + 40 − 9n − 40
bn+1 − bn = 9
ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית עם d = 9 ו־b1 = 49.
📐 הוכחה שסדרה חשבונית
an+1 − an = d (קבוע)
סעיף ג – B סדרה חשבונית · המשך
ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית עם d = 9 ו־b1 = 49.
✅ פתרון סופי: הוכח: bn = 9n + 40 , d = 9
סעיף ד – הסכום עם הסימנים המתחלפים
נקבץ את האיברים בזוגות:
(b12 − b22) + (b32 − b42) + ...
+ (b292 − b302)
b12 − b22 = (b1 − b2)(b1 + b2)
📐 הפרש ריבועים
בכל זוג b1 − b2 = −d = −9:
= −9(b1 + b2) − 9(b3 + b4) − ...
📐 הפרש ריבועים
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
סעיף ד – הסכום עם הסימנים המתחלפים · המשך
= −9(b1 + b2) − 9(b3 + b4) − ...
− 9(b29 + b30)
= −9(b1 + b2 + ... + b30)
b30 = 9 · 30 + 40 = 310
S30 = 302 (49 + 310)
📐 סכום סדרה חשבונית
S30 = 15 · 359 = 5385
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2 (a1 + an)
סעיף ד – הסכום עם הסימנים המתחלפים · המשך
S30 = 15 · 359 = 5385
−9 · 5385 = −48,465
✅ פתרון סופי: −48,465
📌 סיכום התשובות
סעיף א
(1) k > 2 ; (2) k < 2 ; (3) k = 2
סעיף ב
k = −3
סעיף ג
הוכח: bn = 9n + 40 , d = 9
סעיף ד
−48,465
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא